|
Применение листа Мёбиуса.
1.
Фокусы.
Мёбиусова лента
понравилась не только математикам, но и фокусникам
Более 100 лет лист Мёбиуса
используется для показа различных фокусов и развлечений.
Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке,
где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов
Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом
дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была
выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала
первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты,
продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал
лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его
ширины).
Фокусники используют лист
Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного
фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных
кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов
длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо
вдоль ленты посередине ,пока не вернется в исходную точку. В
результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким
же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению,
не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного.
Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный
результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат
этого фокуса зависит от того , как были сомкнуты концы ленты
перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого
соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо
получается при соединении концов ленты , перекрученной один
раз на 180ᵒ. Третье
кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой
перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много
фокусов с применением ленты Мебиуса. Кстати, вы даже можете
придумать их сами!
Лист Мебиуса в
искусстве.
У входа в музей истории и
техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале
стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно.
Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в
основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В
1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который
предложил записывать звук на киноленте без смены катушек,
сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где
лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом
появляется возможность записывать или считывать информацию
сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и
соответственно время звучания.
В 1969 году советский
изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную
ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала
Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это
только ничтожная часть примеров использования этой
удивительной поверхности.
Особенно любил работать с
топологическими объектами М. Эшер множество его работ
посвящены листу Мебиуса :
Математическое искусство Эшера
Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет
архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу
закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х
годов он не был широко известен, но после ряда выставок и
статей в американских журналах (Time и др.) он получает
мировую известность. Среди его восторженных поклонников были
и математики, которые видели в его работах оригинальную
визуальную интерпретацию некоторых математических законов.
Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального
математического образования.
Мозаики
В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей,
в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости,
проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой
геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован
всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными
фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были
использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными
для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения
плоскости и логика трехмерного пространства.
Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор
замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без
пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве
фигуры для составления мозаики используют простые
многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но
Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и
нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют
неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид,
который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и
взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму
плоскость.
Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время
путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре,
зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это
было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в
1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:
В
математических работах регулярное разбиение плоскости
рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный
вопрос является сугубо математическим? Математики открыли
дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не
решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь,
чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости
подходят только три правильных многоугольника: треугольник,
квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения
плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда
используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен
правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы
мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии
называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он
исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц,
ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-,
четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом
сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и
щелей. В гравюре "Рептилии"
маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного
пространства стола, проходят кругом, чтобы снова
превратиться в двухмерные фигуры.
Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В
"Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной
мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.
Многогранники
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое
очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники
являются главной фигурой и в еще большем количестве работ
они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
Существует лишь пять правильных многогранников, то есть
таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных
многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это -
тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных
треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр,
имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями
которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и
икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре
"Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных
многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме
этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой
из них можно увидеть остальные.
Большое количество различных многогранников может быть получено
объединением правильных многогранников, а также превращением
многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в
звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой,
основанием которой является грань многогранника. Изящный
пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок
и хаос". В данном случае звездчатый многогранник
помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой
конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по
столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно
догадаться о природе источника света для всей композиции -
это окно, которое отражается левой верхней части сферы.
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно
встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди
них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть
тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные
варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но
он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры
хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного
восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим
взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной
картины является еще одним предметом восхищения математиков
творчеством Эшера.
Форма пространства
Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения
являются картины, оперирующие с природой самого
пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" -
хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример
демонстрирует интерес художника к размерности пространства и
способность мозга распознавать трехмерные изображения на
двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал
данный принцип для создания изумительных визуальных
эффектов.
Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал
много иллюстраций гиперболического пространства. Один из
примеров можно увидеть в работе "Предел
круга III".
 |
