Применение листа Мёбиуса в литературе, технике, астрономии, философии.

1. Лист Мёбиуса в литературе

Лист Мёбиуса

Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист

Чудесные свойства ленты Мебиуса породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро , когда потерялся во времени поезд , отправившейся в путь по сути , замкнутом в ленту Мебиуса. А в рассказе известного писателя-фантаста Артура Кларка « Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете , изогнутой в виде листа Мебиуса.

2.Лист Мебиуса в науке и технике

Лента Мебиуса используется во многих изобретениях , навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Лента Мебиуса наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента , красящей лентой для печатающих устройств , ременной передачей , а магнитофонная лента , расположенная в кассете по ленте Мебиуса, будет проигрываться в два раза дольше. А 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение- она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - ее нельзя перекрутить, как обычную- своего рода вечный двигатель. Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулем и управляемыми элементами . Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса , что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию. Полоса ленточного конвейра выполнялась в виде ленты Мебиуса , что позволяло ему работать дольше , потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мебиуса ( чтобы удвоить время записи). Есть гипотеза , что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того- такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти- спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Кстати, физики утверждают, что все оптические законы основаны на ленты Мебиуса, например, отражение в зеркале -это своеобразный перенос во времени, ведь мы видим перед собой своего зеркального двойника!

3. Лист Мёбиуса в Астрономии

Неизведанная Вселенная

Если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли?

    "Не обязательно, -- решил Эйнштейн. -- Корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо".

    Чтобы понять парадокс Эйнштейна, начнем с несчастного пойнтландца. Вся его вселенная -- это одна-единственная точка, имеющая нуль измерений.

    Обитающий на одномерной линии лайнландец подобен червяку, ползущему по канату: если канат бесконечен, то он может путешествовать сколь угодно далеко как в одну, так и в другую сторону.

Но если канат замкнут наподобие окружности, то вселенная нашего лайнландца неограниченна, хотя и имеет конечную длину. В какую бы сторону ни полз червяк, он непременно вернется в исходную точку.
    Флатландец обитает на двумерной поверхности. Если его вселенная -- бесконечная плоскость, то он может путешествовать на любые расстояния в любом направлении.

    Но если поверхность, на которой он обитает, замкнута наподобие сферы, то она также неограниченна и конечна. В какую бы сторону ни отправился флатландец, двигаясь все время прямо и никуда не сворачивая, он непременно вернется туда, откуда начал свой путь.

    Мы с вами "солидландцы", обитающие в трехмерном мире. Возможно, наш мир простирается бесконечно далеко в каждом из направлений.

Но, может быть, наша Вселенная изогнута в пространстве большего числа измерений и потому неограниченна и конечна? В такой Вселенной, как и полагал Эйнштейн, космический корабль, все время летящий прямо, мог бы вернуться к месту старта. Когда флатландец совершает кругосветное путешествие по сфере, он как бы движется по полоске, склеенной в кольцо без перекручивания.

Но если флатландец путешествует по листу Мёбиуса, то происходит нечто странное. Полоборота, на которые перекручено полотно листа, как бы переворачивают флатландца на другую сторону: вернувшись в исходную точку, он обнаруживает у себя сердце не слева, а справа!

    Если наше пространство перекручено наподобие листа Мёбиуса, то вернувшийся на Землю астронавт может оказаться собственным зеркальным отражением.

    Астрономы пока не пришли к единому мнению относительно того, замкнута ли наша Вселенная, как полагал Эйнштейн, или открыта. Ответ на этот вопрос зависит от того, какова масса Вселенной. Согласно общей теории относительности, масса приводит к искривлению пространства -- чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Большинство специалистов по современной космологии считают, что массы Вселенной недостаточно для столь сильного искривления пространства, которое привело бы к его замыканию. Но вопрос пока остается открытым, поскольку ни природа-вещества, ни распределение его плотности во Вселенной не известны. Не исключено, что во Вселенной имеется "скрытая масса", вполне достаточная для замыкания пространства. (Например, подозревают, что нейтрино обладают положительной массой покоя, в то время как раньше их масса покоя считалась равной нулю.)

    Не существует никаких данных, позволяющих утверждать о том, будто наше пространство перекручено, как лист Мёбиуса. Тем не менее ученые, занимающиеся космологией, охотно рассматривают различные модели пространства, в том числе и модели с кручением. Для того чтобы понять, каким образом флатландец, совершив кругосветное путешествие по листу Мёбиуса, переходит в свое зеркальное отражение, важно не упускать из виду одно существенное обстоятельство: нулевую толщину листа Мёбиуса. Любая бумажная модель листа Мёбиуса в действительности представляет собой объемное тело, так как бумага имеет конечную толщину. Мы же должны исходить из предположения о том, что идеальный лист Мёбиуса имеет нулевую толщину.

    Плоская фигура, начерченная на идеальном листе Мёбиуса, напоминает фигуру, начерченную чернилами, которые проходят сквозь бумагу, делая контур видимым с двух сторон: она начерчена одновременно с двух "сторон" листа, а не только с одной "стороны", как бы погружена в его поверхность пулевой толщины. Вернувшись в исходное положение после обхода листа Мёбиуса, такая фигура переходит в свое зеркальное отражение. Разумеется, при повторном обходе она вновь принимает свой первоначальный вид. Аналогичным образом астронавт, вернувшись из кругосветного путешествия в пространстве с кручением, оказался бы зеркальным двойником самого себя и, лишь совершив повторное кругосветное путешествие, смог бы "прийти в себя".

    Если вас заинтересовали парадоксальные свойства листа Мёбиуса, то вам, возможно, покажутся интересными две другие не менее парадоксальные поверхности -- бутылка Клейна и проективная плоскость -- и.вы захотите изучить их подробнее. Обе поверхности односторонние, но в отличие от листа Мёбиуса не имеют краев. Бутылка Клейна тесно связана с листом Мёбиуса, так как, разрезав ее пополам, мы можем получить два зеркально-симметричных листа Мёбиуса. Флатландец, обитающий на поверхности бутылки

    Клейна или на проективной плоскости, совершив кругосветное путешествие, переходит в свое зеркальное отражение (см. главу 2 моей "Шестой книги математических игр" из журнала Scientific American) [Gardner М. Sixth Booh of Mathematical Games from Scientific American.-San Francisco, 1971.]. Классической книгой о жизни в двумерном пространстве по праву считается "Флатландия" Эдвина Э. Эббота. Ее продолжение -- "Сферландию" -- написал Дионис Бюргер [Эбботт Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. - M.: Мир, 1976.].

    Возможно, вам понравится фантастический рассказ Г. Уэллса "История Платтнера" -- о человеке, побывавшем в четвертом измерении и вернувшемся на Землю своим зеркальным двойником -- с сердцем, расположенным справа.

4. Лист Мёбиуса в  философии

«Парадокс лгуна»

   Лента Мёбиуса - это кольцо, которое в каждой точке имеет соответственно по две составляющие протяжённость грани. Протяжённости идут параллельно кольцу. Конец одной грани соединяется с началом другой. Так две грани образуют второе кольцо, дважды обёрнутое вокруг основного. Поэтому бессмысленно различать грань с её противоположностью в контексте всего пространства граней точек основного кольца. Истину или ложь утверждает человек, который говорит «я лгу», и больше ничего не говорит?

Истину или ложь утверждает человек, который говорит «я лгу», и больше ничего не говорит?  Вот, к примеру, вариант Эвбулида:

   Критянин Эпименид сказал:
«Все критяне лжецы».
Эпименид сам критянин.
Следовательно, он лжец. Если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны – ложно. Значит, критяне не лгуны.

Между тем Эпименид, как определено условием, – критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение «все критяне лгуны» – истинно.

Таким образом, мы пришли к взаимоисключающим предложениям.

Одно из них утверждает, что высказывание «все критяне лгуны», является ложным, а другое, наоборот, квалифицирует это же высказывание как истинное.

Притом как в одном, так и в другом случае наши рассуждения логически строги, в них нет ни намеренных, ни непреднамеренных ошибок. Так где же истина?

Было приложено немало усилий объяснить этот странный результат.

Имеется, например, такое решение.

Почему мы должны считать, что Эпименид говорит одну только ложь и никогда не говорит правды?

Точно так же тот, кто считается правдивым, разве всегда утверждает лишь правду?

В практике общения ложное обычно перемешано с истиной, и мы не найдем такого отпетого лгуна, который только бы лгал. Его легко изобличить, и тогда понимай все, что им сказано, наоборот.

В действительности, однако, положение гораздо сложнее.

Парадоксу посвящена  обширная литература.

Он на самом деле вызывает недоумение.

Легенда утверждает даже, что древнегреческий философ Кронос, испытав неудачу в попытках решить парадокс, от огорчения умер, а еще один философ, Филипп Косский, покончил жизнь самоубийством.

С тех пор внимание к парадоксу лжеца не затухало. Оно лишь принимало новые формы, обнаруживало новые оттенки. Особенно сильная волна интереса к нему, как и другим парадоксам, была вызвана событиями, разыгравшимися в математике на рубеже XIX - XX столетий.

На этот раз к парадоксам подошли основательнее, во всеоружии достижений логики, математики и философии, полученных к тому времени.

 Взгляд логика:

 Если А лжец, то, значит, он врет, т.е. в действительности он правдолюбец. Но тогда мы приходим к противоречию. Если же А правдолюбец, т.е. говорит правду, то в действительности он лжец, а это опять противоречие. Таким образом, в этой головоломке не существует непротиворечивого варианта "распределения ролей", т.е. не существует модели в том смысле, который придается ей в математической логике.

Оказывается…

Лента Мёбиуса - прекрасный пример, что парадокс лжеца не бесмысленен.

 У нас есть две части - каков человек и какова его фраза, каждая имеющее по две составляющие - лживое/правдивое. С одной стороны протяжённости соединяются тем, что человек и его слова по правдивости одинаковы.

С другой стороны соединяются тем, что как слова действуют, так и есть.

   Части образуют кольцо. При этом составляющие частей тоже замыкаются в одно сложенное вдвое кольцо. Кольцо составляющих означает замкнутость вариантов решения, а значит, невозможность выведения ответа.

 Предложив сложенное вдвое кольцо(в форме двух протяжённостей с перекрёстным соединением) в контексте требования отделить обороты друг от друга, мы признаём, что такие задачи, которые не имеют решения, существуют.  Другое дело, что такие задачи ставятся в тех условиях, в которых уже должно быть известно, что они не имеют решения (кольцо не делится на несколько колец, только на части). А это значит их постановка бессмысленна, если только не считать, что смысл - обращение внимания решающего на причину бессмысленности.

 Подумайте вечерком…

1. Встречаются два человека, А и В, один из который правдолюбец, а другой — лжец. А говорит: "Либо я лжец, либо В правдолюбец". Кто из этих двоих правдолюбец, а кто лжец?

2. Встречаются три человека, А, В и С. А и говорит: "Все мы лжецы", а В отвечает: "Только один из нас правдолюбец". Кто из этих троих правдолюбец, а кто лжец?

3. Встречаются три человека, А, В и С. Четвертый, проходя мимо, спрашивает А: "Сколько правдолюбцев среди вас?" А отвечает неопределенно, а В отвечает: "А сказал, что среди нас есть один правдолюбец". Тут в разговор вступает С и добавляет: "В врет!" Кем, по-вашему, являются В и С?

К плану

Заключение.

 Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но

эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников.

В этой работе мы пытались описать свойства згой прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.

Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологи­ческим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним рос­черком. Сеть таких кривых называют графами ( от греческого слова графо - пишу ), головоломки со шнурами и бечёвками. Но об этом другой разговор.

Использованная литература.

1. М.Гарднер  «Математические чудеса и тайны»
2. «Наука» 1978 г., стр. 43 - 48.
3. Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс.
4. «Просвещение» 2002 г.т стр. 63 - 67.
5. Современный словарь иностранных слов.
6. «Русский язык» 1993гг, стр. 146, 468: 579, 612,
7. И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева  «Наглядная геометрия» 5-6 класс.
8. «Дрофа» 2000г.; стр. 69 - 72.
9. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112.

Оглавление

Сайт о  работе научного общества учащихся  и проектной деятельности.

Первый  вестник научного общества  учащихся "Эверест"

Сайт научного общества "Эверест"

вверх