|
Лист Мёбиуса и
его свойства.
У каждого из
нас есть интуитивное представление о том, что такое
«поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен
класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли
быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии?
Пример листа Мёбиуса показывает, что может. Лист Мёбиуса -
узкая полоска бумаги, концы которой склеены после одного
перекручивания. Чтобы изучить его свойства, мы провёли
несколько опытов, которые разделил на две группы:
I группа
Опыт № 1.
Начали красить лист Мёбиуса, не переворачивая его.
Результат.
Лист Мёбиуса закрасился полностью.
« Если кто -
нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности
мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с
краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в
превосходной книге «Что такое математика?»
Олыт№ 2.
На внутреннюю сторону обычного кольца посадили бумажного
Паука, а на наружную - бумажную муху, разрешили ползать как
угодно, запретив перелазить через края кольца.
Результат.
Паук не сможет добраться до мухи.
Опыт № З.
Посадили муху и паука на лист Мебиуса, разрешили ползать как
угодно, не перелазив через края.
Результат.
Паук догнал и съел муху.
Опыт №4.
Вырезали из бумаги солдатика и отправили его вдоль пунктира,
идущего по
середине листа Мебиуса.
Результат.
Солдатик вернулся в то же место, от куда начал движение, но
в
перевернутом виде.
II группа
опытов
связана с
разрезанием листа Мебиуса, результаты мы занесли в таблицу.
|
№
опыта |
Описание опыта |
Результат |
|
1. |
Простое кольцо разрезали по середине вдоль. |
Получили два простых кольца, такой же длины, шириной
в два раза уже. |
|
2. |
Лист
Мёбиуса разрезали по середине вдоль. |
Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше,
ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный
оборот. |
|
3. |
Лист
Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии
1 см от края. |
Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1.
ширина 3 см. лист Мёбиуса длина = длине исходного.
2. Ширина 1 см. длина в два раза больше исходного
перекручена на два полных оборота. |
|
4. |
Лист
Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии
2 см от края. |
Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1.
кольцо – лист Мёбиуса шириной 1 см. длина = длине
исходного. 2 кольцо - ширина 2 см., в два раза
длиннее исходного перекрученного на два полных
оборота. |
|
5. |
Лист
Мёбиуса шириной 5 см., разрезали вдоль на расстоянии
3 см., от края. |
Получили два сцепленных друг с другом кольца:
кольцо – лист Мёбиуса шириной 1 см.. такой же длины.
2. кольцо – шириной 2 см.. длина его в два раза
больше исходного перекручена на два полных оборота. |
|
6. |
Лист
Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии
4 см., от края. |
Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1.
кольцо лист Мёбиуса 3 см., длина = длине исходного.
2. кольцо шириной 2 см., длина в два раза больше
исходного, перекручена на два полных оборота. |
|
7. |
На
обеих сторонах бумажной ленты провели две пунктирные
линии, на равном расстоянии друг от друга, склеил
лист Мёбиуса, разрезал вдоль пунктирных линий. |
Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1. в
два раза длиннее исходного, ширина в три раза
меньше исходного, в два раза перекручена, получилось
из краев исходной ленты. 2 кольцо лист Мёбиуса длина
= длине исходного, ширина в три раза меньше
исходного получилось из центральной части исходной
ленты. |
Выводы:
Лист Мебиуса
имеет один край.
Лист Мебиуса
имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса
- топологический объект. Как и любая топологическая фигура
лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают,
не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Один край и
одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в
пространстве, не связаны с понятиями расстояния. |
